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為了考慮厚度變化的影響，我們首先將光柵向量分成兩個分量，K∥和K⊥，其中K⊥為垂直表面法線，K∥與表面法線平行。如果厚度從t到t'發生變化，則可以透過修改K∥計算出新的光柵向量，如方程式（4）。圖 4. 當全像材料收縮時，厚度從t 減少到 t'。我們現在已經介紹了體積全像圖模型的基礎知識。

常用的方法有變分法和有限差分法：變分法是把定解問題轉化成變分問題，再求變分問題的近似解；有限差分法是把定解問題轉化成代數方程，然后用計算機進行計算；還有一種更有意義的模擬法，它用另一個物理的問題實驗研究來代替所研究某個物理問題的定解。

1.4聲學積分方程 跟有限元法、有限差分法等基于微分方程方法不同，聲學邊界元是基于積分方程的數值計算方法。在聲場中，求解不在結構邊界單元上的任意一點處的聲學結果，通常需要先得到滿足一定條件的Helmholtz微分方程基本解，稱為格林函數，再對滿足格林函數的聲學波動方程進行積分獲得。

所以和牛頓力學公式一樣，它的適用性有限。在力學教材中，它一般用來求解平衡問題。在高中競賽中，它倒是一個重要的計算手段。

有限元分析的幾何對象是物體本身。-----從一維到二維-----彈簧是典型的一維單元，擴展到二維需要引入偏微分方程PDE。拉普拉斯方程和泊松方程是最簡單的二維偏微分方程。這兩個方程可以描述靜電場，導熱，二維波動，以及天體運動等。簡單講，PDE（Partial Differential Equation）是描述這個世界運行規律的一種方式。

圖 2 交錯解法流程示意圖以上為控制方程的弱形式，通過運用高斯定理，可以得到其強形式為: 其中，▽運算符是拉普拉斯算子。為了保證相場法中裂紋的不可逆性，由于無直接的裂紋量度，因此通常從損傷力學的角度保證，即來保證裂紋的不可逆性。提使用歷史變量H來代替方程中的，即 數值算例本節使用ABAQUS軟件編寫Fortran子程序實現基于相場法的裂紋擴展模型。

但最方程組的系數矩陣一般滿秩，需要借助快速多極子，多層快速多級子等方法提升求解效率，加大了開發難度。矩量法也是一種半解析半數值解法，最終形成的也是滿秩矩陣。一篇文章入門邊界元方法4. 有限體積(FVM)基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，并使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。

所需的設計和製造方法可能會有所不同，具體取決於微結構的類型。參考文獻[5]顯示了根據給定的相位輪廓生成閃耀光柵的範例。它還討論了單點金剛石車床的製造。可以在我們的知識庫文章中找到用於生成閃耀光柵的巨集:如何使用巨集計算繞射光學元件的垂度。或者，參考文獻[3]顯示了如何使用Lumerical FDTD軟體為給定的相位曲線設計超穎透鏡。這種方法的缺點是設計人員可能無法檢查整個系統的性能。

四、數值實現：增廣拉格朗日法的巧妙之處高階理論的最大障礙是求解困難。控制方程包含四階甚至六階微分算子，傳統有限元需要 或 連續性的形函數（極其復雜）。